History of Ming 明史
卷三十三 志第九 曆三 Volume 33 Treatises 9: Calendar 3
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志第九 歷三▲大統曆法一下法原
日月五星平定三差
太陽盈縮平立定三差之原。
冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。離爲六段，每段各得一十四日八十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以爲積差。
積日
積差
第一段
一十四日八二
七千零五十八分零二五
第二段
二十九日六四
一萬二千九百七十六三九二
第三段
四十四日四六
一萬七千六百九十三七四六二
第四段
五十九日二八
二萬一千一百四十八七三二八
第五段
七十四日一零
二萬三千二百七十九九九七
第六段
八十八日九二
二萬四千零二十六一八四
各置其段積差，以其段積日除之，爲各段日平差。置各段日平差，與後段日平差相減，爲一差。置一差，與後段一差相減，爲二差。
日平差
一差
二差
第一段
四百七十六分二五
三十八分四五
一分三八
第二段
四百三十七分八零
三十九分八三
一分三八
第三段
三百九十七分九七
四十一分二一
一分三八
第四段
三百五十六分七六
四十一分五九
一分三八
第五段
三百一十四分一七
四十三分九七
第六段
二百七十零分二零
置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，爲凡平積。以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差十八分四十五秒，餘三十七分零七秒，不凡平積差。另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，爲凡立積差。以凡平積差三十七分零七秒，加入凡平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，爲定差。
以凡立積差六十九秒，去減凡平積差三十七分零七秒，餘三十六分三十八秒爲實，以段日一十四日八十二刻爲法除之，得二分四十六秒爲平差。置凡立積差六十九秒爲實，以段日爲法除二次，得三十一微，爲立差。
夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，就整。離爲六段，每段各得一十五日六十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以爲積差。
積日
積差
第一段
一十五日六二
七千零五十八分九九零四
第二段
三十一日二四
一萬二千九百七十八六五八
第三段
四十六日八六
一萬七千六百九十六六七九
第四段
六十二日四八
二萬萬一千一百五十零七二九六
第五段
七十八日一零
二萬三千二百七十八四八六
第六段
九十三日七二
二萬四千零百一十七六二四四
推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。
日平差
一差
二差
第一段
四百五十一分九二
三十六分四七
一分三三
第二段
四百一十五分四五
三十七分八零
一分三三
第三段
三百七十七分六五
三十九分一二
一分三三
第四段
三百三十八分五二
四十零分四六
一分三三
第五段
二百九十八分零六
四十一分七九
第六段
二百五十六分二七
置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，爲凡平積。以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十一分一十四秒，爲凡平積差。另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，爲凡立積差。以凡平積差三十五分一十四秒，加入凡平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，爲定差。以凡『立積差六十六秒五十微，去減凡平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微爲實，以段日一十五日六二爲法除之，得二分二十一秒，爲平差。置凡立積差六十六秒五十微爲實，以段日爲法，除二次，得二十七微，爲立差。
凡求盈縮，以入歷初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，爲盈縮積。
凡盈歷以八十日九零九二二五爲限，縮歷以九十三日七一二零二五爲限。在其限已下爲初，以上轉減半歲周餘不末。盈初是人冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。
表格略
▲盈縮招差圖說
盈縮招生，本爲一象限之法。如盈歷則以八十八日九十一刻爲象限，縮歷則以九十三日七十一刻爲象限。今止作九限者，舉此爲例也。其空格九行定差本數，爲實也。其斜綿以上平差立差之數，爲法也。斜綿以下空格之定差，乃餘實也。假如定差爲一萬，平差爲一百，立差爲單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬爲實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。並兩數得八百二十九爲法。以法減實，餘八萬一千一百七十一，爲九限積。又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，並兩數得九進八十一爲法，定差一萬爲實，以法減實，餘矣千零一十九，即九限末位所書之定差也。於是瑞以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，爲九限積，與前所不所得不同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。
按《授時曆》於七政盈縮，並以垛積招差立算，其污七巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳《九章》諸書，不載其術，《歷草》載其術，而不言其故。宣城梅文鼎爲之圖解，於平差、立差之理，垛積之法，皆有以發明其所以然。有專書行於世，不能備錄，謹錄《招生圖說》，以明立法之大意云。
盈初縮末 置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，爲加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，爲平立合差。
置定差五百一十三分三十二秒，內減平差二分四十六秒，再減立差三十一微，餘五百一十零分八十五秒六十九微，爲加分。
縮初盈末 置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，爲加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，爲平立合差。
置定差四百八十七分零六秒，內減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，餘四百八十四分八十四秒七十三微，爲加分。
已上所推，皆初日之數。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，爲次日平立合差。以平立合差減其日加分，爲次日加分，盈縮並同。其加分累積之，即盈縮積，其數並見立成。
▲太陰遲疾平立三差之原
太陰轉週二十七日五十五刻四六。測分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一週。以四象爲法，除轉週日，得每象六日八八八六五，分爲七段，每段下實測月行遲疾之數，與平行相較，以求積差。
積限
積差
第一段
一十二
一度二十八分七一二
第二段
二十四
二度四十五分九六一六
第三段
三十六
三度四十八分三七九二
第四段
四十八
四度三十二分五九五二
第五段
六十
四度九十五分二四
第六段
七十二
五度三十二分九四四
第七段
八十四
五度四十二分三三七六
各置其段積差，以其段積限爲法除之，爲各段限平差。置各段限平差，與後段相減爲一差。置一差，與後段一差相減爲二差。
限平差
一差
二差
第一段
一十零分七二六零
四十七秒七六
九秒三六
第二段
一十零分二四八四
五十七秒一二
九秒本六
第三段
九分六七七二
六十六秒四八
九秒三六
第四段
九分零一二四
七十五秒八四
九秒三六
第五段
八分二五四零
八十五秒二零
九秒三六
第六段
七分四零二零
九十四秒五六
第七段
六分四五六四
置第一段限平差一十零分七二六爲凡平積。置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六減之，餘三十八秒四十微，爲凡平積差。另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，爲凡立積差。以凡平積差三十八秒四十微，加凡平積一十零分七二六，得一十一分一十一秒，爲定差。置凡平積差三十八秒四十微，以凡立積差四秒六十八微減之，餘三十三秒七十二微爲實，以十二限爲法除之，得二秒八十一微，爲平差。置凡立積差四秒六十八微爲實，十二限爲法，除二次，得三微二十五纖，爲立差。
凡求遲疾，皆以入歷日乘十二限二十分，以在八十四限已下爲初，已上轉減一百六十八限餘爲末。各以初末限乘立差，得數以加平差，再以初末限乘之，得數以減定差，餘以初末限乘之，爲遲疾積。其初限是從最遲最疾處順推至後，末限是從最遲最疾處逆溯至前，其距其距最遲疾處同，故其積度同。太陰與太陽立法同，但太陽以定氣立限，故盈縮異數。太陰以平行立限，故遲疾同原。
布立成法 置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，爲損益立差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十纖，共得五秒八十一微，爲初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五，爲平立合差之極。八十一限下差一秒七八零九，八十二限下一秒七八零八，至八十三限下，平立合差，與益分中分，爲益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，爲損分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。置定差一十一分一十一秒，內減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，餘一十一分零八秒一十五微七十五纖爲加分定差，即初限損益分。置損益分，以其限平立合差益減損加之。即爲次限損益分。以益分積之，損分減之，便爲其下遲疾度。以八百二十分爲一限日率，累加八百二十分爲每限日率。以上俱詳立成。
五星平立定三差之原 凡五星各以實測，分其行度爲八段，以求積差，略如日月法。
木星立差加，平差減。
積日
積差
第一段
一十一日五十刻
一度二一五二九七一一二
第二段
二十三日
二度三四零五二一四
第三段
三十四日五十刻
三度三五四一三七二六五
第四段
四十六日
四度二三四六零九一二
第五段
五十七日五十刻
四度九六零四零一三七五
第六段
六十九日
五度五零九九七八四四
第七段
八十零日五十刻
五度八六一八零四七二五
第八段
九十二日
五度九九四三四四六四
凡平差
凡平較
凡立較
第一段 一十分五六七八零一 三十九秒一六二一 六秒二四二二
第二段 一十分一七六一八
四十五秒四零四三 六秒二四二二
第三段 九分七二二一三七
五十一秒六四六五 六秒二四二二
第四段 九分二零五六七二
五十七秒八八八七 六秒二四二二
第五段 八分六二六七八五
六十四秒一三零九 六秒二四二二
第六段 七分九八五四七六
七十零秒三七二一 六秒二四二二
第七段 七分二八一七四五
七十六秒六一五三
第八段 六分五一五五九二
各置其段所測積差度爲實，以段日爲法除之，爲凡平差。各以凡平差與次段凡平差相較，爲凡平較。又以凡平較與次段凡平較相較，爲凡立較。置第一段凡平較三十九秒一六二一，減其下凡立較六秒二四二二，餘三十二秒九一九九，爲初段平立較。加初段凡平差一十分五六七八零一，共得一十零分八十九秒七十零微，爲定差。秒置萬位。置初段平立較差三十二秒九一九九，內減凡立較之半，三秒一二一一，餘二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纖爲平差。置凡立差之半，三秒一二一一，以段日爲法除二次，得二微三十六纖爲立差。
已上爲木星平立定三差之原。
火星盈初縮末。立差減，平差減。
積日
第一段
七日六十二刻五十分
第二段
一十五日二十五刻
第三段
二十二日八十七刻五十分
第四段
三十零日五十零刻
第五段
三十八日一十二刻五十分
第六段
四十五日七十五刻
第七段
五十三日三十七刻五十分
第八段
六十一日
積差
第一段
六度二六八二五一二二八一八五五九三七五
第二段
一十一度六零零一七五七四三五九三七五
第三段
一十六度零二五九六三七九二五一九五三一二五
第四段
一十九度六六九零一三六二一二五
第五段
二十二度二七九八九一四七六零七四二一八七五
第六段
二十四度一六八二二八六零三二八一二五
第七段
二十五度三三一五五六二四九二六零一五六二五
第八段
二十五度六一九五一五六六
凡平差
第一段
八十二分零六五七三四八四三七五
第二段
七十六分零六六七二六一六七五
第三段
七十零分零五八八五八一零九三七五
第四段
六十四分一八二九六九二五
第五段
五十八分四三九零五九六零九三七五
第六段
五十二分八二七一二九一八七五
第七段
四十七分三四七一七七九八四三七五
第八段
四十一分九九九二零六
凡平較
第一段
六分一三九八四七二九六八七五
第二段
六分零零七八六八零七八一二五
第三段
五分八七五八八八八五九三七五
第四段
五分七四三九零九六四零六二五
第五段
五分六一一九三零四二一八七五
第六段
五分四七九九五一二零三一二五
第七段
五分三四七九七一九八四三七五
凡立較
第一段
一十三秒一九七九二一八七五
第二段
一十三秒一九七九二一八七五
第三段
一十三秒一九七九二一八七五
第四段
一十三秒一九七九二一八七五
第五段
一十三秒一九七九二一八七五
第六段
一十三秒一九七九二一八七五
凡平較前多後少，應加凡立較。置初段下凡平較六分一三九八四七二九六八七五，加凡立較一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，爲初日下平立較。置初段凡平差八十二分二十零秒六五七三四八四三七五，加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，爲定差。置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加凡立較之半，六秒五九八九六零九三七五，得分三三七八一六一二五爲實，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纖爲平差。置凡立較之半，六秒五九八九六零九三七五，以段日七日六十二刻五十分爲法除二次，得一十一微三十五纖爲立差。
火星縮初盈末平差負減，立差減。
積日
第一段
一十五日二十五刻
第二段
三十零日五十刻
第三段
四十五日七十五刻
第四段
六十一日
第五段
七十六日二十五刻
第六段
九十一日五十刻
第七段
一百零六日七十五刻
第八段
一百二十二日
積差
第一段
四度五三一二五一八五七九六八七五
第二段
九度一零二九六一四五一二五
第三段
一十三度五三一六七零九零一七七三七五
第四段
一十七度四七八九七九零四
第五段
二十零度八四三六六三零六六四零六二五
第六段
二十三度四三一三三六二四一二五
第七段
二十五度零九二四三五二八三四六八七五
第八段
二十五度六一八三七四七二
凡平差
第一段
二十九分七一三一二六九三七五
第二段
二十九分八四五七七五二五
第三段
二十九分五七八三五五零六二五
第四段
二十八分六五四零六四
第五段
二十七分三三三九五一五六二五
第六段
二十五分六一八零一七七五
第七段
二十三分五零六二六二五六二五
第八段
二十零分九九八六八六
凡平較
凡立較
第一段 一十三秒二六四八三一二五
一十三秒五七六九七七五
第二段 二十六秒八四一八零八七五
六十五秒五八七二九七五
第三段 九十二秒四二九一零六二五
三十九秒五八二一三七五
第四