History of Yuan 元史
卷五十五 志第七: 曆四 Volume 55 Treatises 8: Calendar 4
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曆四○授時曆經下△步中星第五大都北極，出地四十度太強。冬至，去極一百一十五度二十一分七十三秒。
夏至，去極六十七度四十一分一十三秒。冬至晝，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。夏至晝，冬至夜，六千一百八十四分八秒。昏明，二百五十分。
黃道出入赤道內外去極度及半晝夜分〈（表略）〉求每日黃道出入赤道內外去極度
置所求日晨前夜半黃道積度，滿半歲周，去之，在象限已下，為初限；已上，復減半歲周，余為入末限；滿積度，去之，余以其段內外差乘之，百約之，所得，用減內外度，為出入赤道內外度；內減外加象限，即所求去極度及分秒。
求每日半晝夜及日出入晨昏分
置所求入初末限，滿積度，去之，余以晝夜差乘之，百約之，所得，加減其段半晝夜分，為所求日半晝夜分；）前多後少為減，前少後多為加。以半夜分便為日出分，用減日周，余為日入分；以昏明分減日出分，余為晨分；加日入分，為昏分。
求晝夜刻及日出入辰刻
置半夜分，倍之，百約，為夜刻；以減百刻，余為晝刻；以日出入分依發斂求之，即得所求辰刻。求更點率置晨分，倍之，五約，為更率；又五約更率，為點率。
求更點所在辰刻
置所求更點數，以更點率乘之，加其日昏分，依發斂求之，即得所求辰刻。求距中度及更差度
置半日周，以其日晨分減之，余為距中分；以三百六十六度二十五分七十五秒乘之，如日周而一，所得，為距中度；用減一百八十三度一十二分八十七秒半，倍之，五除，為更差度及分。
求昏明五更中星
置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所臨宿次，命為初更中星；以更差度累加之，滿赤道宿次去之，為逐更及曉中星宿度及分秒。其九服所在晝夜刻分及中星諸率，並準隨處北極出地度數推之。〈（已上諸率，與晷漏所推自相符契。）〉
求九服所在漏刻
各於所在以儀測驗，或下水漏，以定其處冬至或夏至夜刻，與五十刻相減，余為至差刻。置所求日黃道，去赤道內外度及分，以至差刻乘之，進一位，如二百三十九而一，所得內減外加五十刻，即所求夜刻；以減百刻，余為晝刻。〈（其日出入辰刻及更點等率，依術求之。）〉
△步交會第六交終分，二十七萬二千一百二十二分二十四秒。交終，二十七日二千一百二十二分二十四秒。交中，十三日六千六十一分一十二秒。
交差，二日三千一百八十三分六十九秒。交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。交應，二十六萬一百八十七分八十六秒。交終，三百六十三度七十九分三十四秒。
交中，一百八十一度八十九分六十七秒。正交，三百五十七度六十四分。中交，一百八十八度五分。日食陽歷限，六度。定法，六十。
陰歷限，八度。定法，八十。月食限，十三度五分。定法，八十七。推天正經朔入交
置中積，加交應，減閏余，滿交終分，去之；不盡，以日周約之為日，不滿為分秒，即天正經朔入交泛日及分秒。）上考者，中積內加所求閏余，減交應，滿交終去之，不盡，以減交終，余如上。
求次朔望入交
置天正經朔入交泛日及分秒，以交望累加之，滿交終日，去之，即為次朔望入交泛日及分秒。求定朔望及每日夜半入交
各置入交泛日及分秒，減去經朔望小余，即為定朔望夜半入交。若定日有增損者，亦如之。否則因經為定，大月加二日，小月加一日，餘皆加七千八百七十七分七十六秒，即次朔夜半入交；累加一日，滿交終日，去之，即每日夜半入交泛日及分秒。
求定朔望加時入交
置經朔望入交泛日及分秒，以定朔望加減差加減之，即定朔望加時入交日及分秒。求交常交定度
置經朔望入交泛日及分秒，以月平行度乘之，為交常度；以盈縮差盈加縮減之，為交定度。求日月食甚定分
日食：視定朔分在半日周已下，去減半周，為中前；已上，減去半周，為中後；與半周相減、相乘，退二位，如九十六而一，為時差；中前以減，中後以加，皆加減定朔分，為食甚定分；以中前後分各加時差，為距午定分。
月食：視定望分在日周四分之一已下，為卯前；已上，覆減半周，為卯後；在四分之三已下，減去半周，為酉前；已上，覆減日周，為酉後。以卯酉前後分自乘，退二位，如四百七十八而一，為時差；子前以減，子後以加，皆加減定望分，為食甚定分；各依發斂求之，即食甚辰刻。
求日月食甚入盈縮歷及日行定度
置經朔望入盈縮歷日及分，以食甚日及定分加之，以經朔望日及分減之，即為食甚入盈縮歷；依日躔術求盈縮差，盈加縮減之，為食甚入盈縮歷定度。
求南北差
視日食甚入盈縮歷定度，在象限已下，為初限；已上，用減半歲周，為末限；以初末限度自相乘，如一千八百七十而一，為度，不滿，退除為分秒；用減四度四十六分，余為南北泛差；以距午定分乘之，以半晝分除之，所得，以減泛差，為定差。泛差不及減者，反減之為定差，應加者減之，應減者加之。在盈初縮末者，交前陰歷減，陽歷加，交後陰歷加，陽歷減；在縮初盈末者，交前陰歷加，陽歷減，交後陰歷減，陽歷加。
求東西差
視日食甚入盈縮歷定度，與半歲周相減相乘，如一千八百七十而一，為度，不滿，退除為分秒，為東西泛差；以距午定分乘之，以日周四分之一除之，為定差。若在泛差已上者，倍泛差減之，余為定差，依其加減。在盈中前者，交前陰歷減，陽歷加；交後陰歷加，陽歷減；中後者，交前陰歷加，陽歷減；交後陰歷減，陽歷加。在縮中前者，交前陰歷加，陽歷減；交後陰歷減，陽歷加；中後者，交前陰歷減，陽歷加；交後陰歷加，陽歷減。
求日食正交中交限度
置正交、中交度，以南北東西差加減之，為正交、中交限度及分秒。求日食入陰陽歷去交前後度
視交定度，在中交限已下，以減中交限，為陽歷交前度；已上，減去中交限，為陰歷交後度；在正交限已下，以減正交限，為陰歷交前度；已上，減去正交限，為陽歷交後度。
求月食入陰陽歷去交前後度
視交定度，在交中度已下，為陽歷；已上，減去交中，為陰歷。視入陰陽歷，在後準十五度半已下，為交後度；前準一百六十六度三十九分六十八秒已上，覆減交中，余為交前度及分。
求日食分秒
視去交前後度，各減陰陽歷食限，〈（不及減者不食。）〉余如定法而一，各為日食之分秒。求月食分秒
視去交前後度，）不用南北東西差者。用減食限，〈（不及減者不食。）〉余如定法而一，為月食之分秒。求日食定用及三限辰刻
置日食分秒，與二十分相減、相乘，平方開之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，為定用分；以減食甚定分，為初虧；加食甚定分，為復圓；依發斂求之，為日食三限辰刻。
求月食定用及三限五限辰刻
置月食分秒，與三十分相減、相乘，平方開之；所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，為定用分；以減食甚定分，為初虧；加食甚定分，為復圓；依發斂求之，即月食三限辰刻。
月食既者，以既內分與一十分相減、相乘，平方開之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，為既內分；用減定用分，為既外分；以定用分減食甚定分，為初虧；加既外，為食既；又加既內，為食甚；再加既內，為生光；復加既外，為復圓；依發斂求之，即月食五限辰刻。
求月食入更點
置食甚所入日晨分，倍之，五約，為更法；又五約更法，為點法。乃置初末諸分，昏分已上，減去昏分，晨分已下，加晨分，以更法除之，為更數；不滿，以點法收之，為點數；其更點數，命初更初點算外，各得所入更點。
求日食所起
食在陽歷，初起西南，甚於正南，復於東南；食在陰歷，初起西北，甚於正北，復於東北；食八分已上，初起正西，復於正東。〈（此據午地而論之。）〉
求月食所起
食在陽歷，初起東北，甚於正北，復於西北；食在陰歷，初起東南，甚於正南，復於西南；食八分已上，初起正東，復於正西。〈（此亦據午地而論之。）〉
求日月出入帶食所見分數
視其日日出入分，在初虧已上、食甚已下者，為帶食。各以食甚分與日出入分相減，余為帶食差；以乘所食之分，滿定用分而一，〈（如月食既者，以既內分減帶食差，余進一位，如既外分而一，所得，以減既分，即月帶食出入所見之分；不及減者，為帶食既出入。）〉以減所食分，即日月出入帶食所見之分。〈（其食甚在晝，晨為漸進，昏為已退；其食甚在夜，晨為已退，昏為漸進。）〉
求日月食甚宿次
置日月食甚入盈縮歷定度，在盈，便為定積；在縮，加半歲周，為定積。望即更加半周天度。以天正冬至加時黃道日度，加而命之，各得日月食甚宿次及分秒。
△步五星第七歷度三百六十五度二十五分七十五秒。歷中
一百八十二度六十二分八十七秒半。歷策一十五度二十一分九十秒六十二微半。木星
周率，三百九十八萬八千八百分。周日，三百九十八日八十八分。曆率，四千三百三十一萬二千九百六十四分八十六秒半。度率，一十一萬八千五百八十二分。
合應，一百一十七萬九千七百二十六分。歷應，一千八百九十九萬九千四百八十一分。盈縮立差，二百三十六加。平差，二萬五千九百一十二減。
定差，一千八十九萬七千。伏見，一十三度。〈（表略）〉火星
周率，七百七十九萬九千二百九十分。周日，七百七十九日九十二分九十秒。曆率，六百八十六萬九千五百八十分四十三秒。度率，一萬八千八百七分半。
合應，五十六萬七千五百四十五分。歷應，五百四十七萬二千九百三十八分。盈初縮末立差，一千一百三十五減。平差，八十三萬一千一百八十九減。
定差，八千八百四十七萬八千四百。縮初盈末立差，八百五十一加。平差，三萬二百三十五負減。定差，二千九百九十七萬六千三百。
伏見，一十九度。〈（表略）〉土星周率，三百七十八萬九百一十六分。
周日，三百七十八日九分一十六秒。曆率，一億七百四十七萬八千八百四十五分六十六秒。度率，二十九萬四千二百五十五分。合應，一十七萬五千六百四十三分。
歷應，五千二百二十四萬五百六十一分。盈立差，二百八十三加。平差，四萬一千二十二減。定差，一千五百一十四萬六千一百。
縮立差，三百三十一加。平差，一萬五千一百二十六減。定差，一千一百一萬七千五百。伏見，一十八度。
〈（表略）〉金星周率，五百八十三萬九千二十六分。周日，五百八十三日九十分二十六秒。
曆率，三百六十五萬二千五百七十五分。度率，一萬。合應，五百七十一萬六千三百三十分。歷應，一十一萬九千六百三十九分。
盈縮立差，一百四十一加。平差，三減。定差，三百五十一萬五千五百。伏見，一十度半。
〈（表略）〉水星周率，一百一十五萬八千七百六十分。周日，一百一十五日八十七分六十秒。
曆率，三百六十五萬二千五百七十五分。度率，一萬。合應，七十萬四百三十七分。歷應，二百五萬五千一百六十一分。
盈縮立差，一百四十一加。平差，二千一百六十五減。定差，三百八十七萬七千。晨伏夕見，一十六度半。
夕伏晨見，一十九度。〈（表略）〉推天正冬至後五星平合及諸段中積中星
置中積，加合應，以其星周率去之，不盡，為前合；復減周率，余為後合；以日周約之，得其星天正冬至後平合中積中星。〈（命為日，日中積；命為度，日中星。）〉以段日累加中積，即諸段中積；以平度累加中星，經退則減之，即為諸段中星。〈（上考者，中積內減合應，滿周率去之，不盡，便為所求後合分。）〉
推五星平合及諸段入歷
各置中積，加歷應及所求後合分，滿曆率，去之；不盡，如度率而一為度，不滿，退除為分秒，即其星平合入歷度及分秒；以諸段限度累加之，即諸段入歷。〈（上考者，中積內減歷應，滿曆率去之，不盡，反減曆率，余加其年後合，余同上。）〉
求盈縮差
置入歷度及分秒，在歷中已下，為盈；已上，減去歷中，余為縮。視盈縮歷，在九十一度三十一分四十三秒太已下，為初限；已上，用減歷中，余為末限。
其火星，盈歷在六十度八十七分六十二秒半已下，為初限；已上，用減歷中，余為末限。縮歷在一百二十一度七十五分二十五秒已下，為初限；已上，用減歷中，餘為末限。
置各星立差，以初末限乘之，去加減平差，得，又以初末限乘之，去加減定差，再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即所求盈縮差。
又術：置盈縮歷，以歷策除之，為策數，不盡為策余；以其下損益率乘之，歷策除之，所得，益加損減其下盈縮積，亦為所求盈縮差。求平合諸段定積
各置其星其段中積，以其盈縮差盈加縮減之，即其段定積日及分秒；以天正冬至日分加之，滿紀法去之，不滿，命甲子算外，即得日辰。求平合及諸段所在月日
各置其段定積，以天正閏日及分加之，滿朔策，除之為月數，不盡，為入月已來日數及分秒。其月數，命天正十一月算外，即其段入月經朔日數及分秒；以日辰相距，為所在定朔月日。
求平合及諸段加時定星
各置其段中星，以盈縮差盈加縮減之，〈（金星倍之，水星三之。）〉即諸段定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。
求諸段初日晨前夜半定星
各以其段初行率，乘其段加時分，百約之，乃順減退加其日加時定星，即其段初日晨前夜半定星；加命如前，即得所求。求諸段日率度率
各以其段日辰距後段日辰為日率，以其段夜半宿次與後段夜半宿次相減，余為度率。求諸段平行分各置其段度率，以其段日率除之，即其段平行度及分秒。
求諸段增減差及日差
以本段前後平行分相減，為其段泛差；倍而退位，為增減差；以加減其段平行分，為初末日行分。）前多後少者，加為初，減為末；前少後多者，減為初，加為末。倍增減差，為總差；以日率減一，除之，為日差。
求前後伏遲退段增減差前伏者，置後段初日行分，加其日差之半，為末日行分。
後伏者，置前段末日行分，加其日差之半，為初日行分；以減伏段平行分，余為增減差。前遲者，置前段末日行分，倍其日差，減之，為初日行分。
後遲者，置後段初日行分，倍其日差，減之，為末日行分；以遲段平行分減之，余為增減差。）前後近留之遲段。木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，為增減差。
金星，前後退伏者，三因平行分，半而退位，為增減差。前退者，置後段初日行分，以其日差減之，為末日行分。
後退者，置前段末日行分，以其日差減之，為初日行分；乃以本段平行分減之，余為增減差。
水星，退行者，半平行分，為增減差；皆以增減差加減平行分，為初末日行分。前多後少者，加為初，減為末；前少後多者，減為初，加為末。又倍增減差，為總差；以日率減一，除之，為日差。
求每日晨前夜半星行宿次
各置其段初日行分，以日差累損益之，後少則損之，後多則益之，為每日行度及分秒；乃順加退減，滿宿次去之，即每日晨前夜半星行宿次。求五星平合見伏入盈縮歷
置其星其段定積日及分秒，〈（若滿歲周日及分秒，去之，余在次年天正冬至後。）〉如在半歲周已下，為入盈歷；滿半歲周，去之，為入縮歷；各在初限已下，為初限；已上，反減半歲周，余為末限；即得五星平合見伏入盈縮歷日及分秒。
求五星平合見伏行差
各以其星其段初日星行分，與其段初日太陽行分相減，余為行差。若金、水二星退行在退合者，以其段初日星行分，並其段初日太陽行分，為行差；內水星夕伏晨見者，直以其段初日太陽行分為行差。
求五星定合定見定伏泛積
木火土三星，以平合晨見夕伏定積日，便為定合伏見泛積日及分秒。
金水二星，置其段盈縮差度及分秒，〈（水星倍之。）〉各以其段行差除之，為日，不滿，退除為分秒。在平合夕見晨伏者，盈減縮加；在退合夕伏晨見者，盈加縮減；各以加減定積為定合伏見泛積日及分秒。
求五星定合定積定星
木火土三星，各以平合行差除其段初日太陽盈縮積，為距合差日；不滿，退除為分秒，以太陽盈縮積減之，為距合差度。各置其星定合泛積，以距合差日盈減縮加之，為其星定合定積日及分秒；以距合差度盈減縮加之，為其星定合定星度及分秒。
金水二星，順合退合者，各以平合退合行差，除其日太陽盈縮積，為距合差日；不滿，退除為分秒，順加退減太陽盈縮積，為距合差度。順合者，盈加縮減其星定合泛積，為其星定合定積日及分秒；退合者，以距合差日盈減縮加、距合差度盈加縮減其星退定合泛積，為其星退定合定積日及分秒；命之，為退定合定星度及分秒。以天正冬至日及分秒，加其星定合定積日及分秒，滿旬周，去之，命甲子算外，即得定合日辰及分秒。以天正冬至加時黃道日度及分秒，加其星定合定星度及分秒，滿黃道宿次，去之，即得定合所躔黃道宿度及分秒。〈（徑求五星合伏定日：木、火、土三星，以夜半黃道日度，減其星夜半黃道宿次，余在其日太陽行分已下，為其日伏合；金、水二星，以其星夜半黃道宿次，減夜半黃道日度，余在其日金、水二星行分已下者，為其日伏合。金、水二星伏退合者，視其日太陽夜半黃道宿次，未行到金、水二星宿次，又視次日太陽行過金、水二星宿次，金、水二星退行過太陽宿次，為其日定合伏退定日。）〉
求木火土三星定見伏定積日
各置其星定見定伏泛積日及分秒，晨加夕減九十一日三十一分六秒，如在半歲周已下，自相乘，已上，反減歲周，余亦自相乘，滿七十五，除之為分，滿百為度，不滿，退除為秒；以其星見伏度乘之，一十五除之；所得，以其段行差除之，為日，不滿，退除為分秒；見加伏減泛積，為其星定見伏定積日及分秒；加命如前，即得定見定伏日辰及分秒。
求金水二星定見伏定積日
各以伏見日行差，除其段初日太陽盈縮積，為日，不滿，退除為分秒；若夕見晨伏，盈加縮減；如晨見夕伏，盈減縮加；以加減其星定見定伏泛積日及分秒，為常積。如在半歲周已下，為冬至後；已上，去之，余為夏至後。各在九十一日三十一分六秒已下，自相乘，已上，反減半歲周，亦自相乘。冬至後晨，夏至後夕，一十八而一，為分；冬至後夕，夏至後晨，七十五而一，為分；又以其星見伏度乘之，一十五除之；所得，滿行差，除之，為日，不滿，退除為分秒，加減常積，為定積。在晨見夕伏者，冬至後加之，夏至後減之；夕見晨伏者，冬至後減之，夏至後加之；為其星定見定伏定積日及分秒；加命如前，即得定見定伏日晨及分秒。
Chinese text: This work was published before January 1, 1923, and is in the
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