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卷二十八上 志第十八上 曆四上 Volume 28a Treatises 20: Calendar 4a
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開元大衍曆一《開元大衍曆》演紀上元閼逢困敦之歲,距開元十二年甲子,積九千六百九十六萬一千七百四十算。
步中朔術
一曰步中朔術
通法三千四十。
策實百一十一萬三百四十三。
揲法八萬九千七百七十三。
減法九萬一千二百。
策余萬五千九百四十三。
用差萬七千一百二十四。
掛限八萬七千一十八。
三元之策十五,餘六百六十四,秒七。
四象之策二十九,餘千六百一十三。
中盈分千三百二十八,秒十四。
朔虛分千四百二十七。
爻數六十。
象統二十四。
以策實乘積算,曰中積分。盈通法得一,為積日。爻數去之,餘起甲子算外,得天正中氣。凡分為小餘,日為大餘。加三元之策,得次氣。凡率相因加者,下有餘秒,皆以類相從。而滿法迭進,用加上位。日盈爻數去之。
以揲法去中積分,不盡曰歸餘之掛。以減中積分,為朔積分。如通法為日,去命如前,得天正經朔。加一象之日七、餘千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。參之,得下弦。四之,是謂一揲,得後月朔。凡四分,一為少,三為太。綜中盈、朔虛分,累益歸餘之掛,每其月閏衰。凡歸余之掛五萬六千七百六十以上,其歲有閏。因考其閏衰,滿掛限以上,其月合置閏。或以進退,皆以定朔無中氣裁焉。
凡常氣小餘不滿通法、如中盈分之半已下者,以象統乘之,內秒分,參而伍之,以減策實;不盡,如策餘為日。命常氣初日算外,得沒日。凡經朔小餘不滿朔虛分者,以小餘減通法,余倍參伍乘之,用減滅法;不盡,如朔虛分為日。命經朔初日算外,得滅日。
發斂術
二曰發斂術
天中之策五,餘二百二十一,秒三十一;秒法七十二。
地中之策六,餘二百六十五,秒八十六;秒法百二十。
貞悔之策三,餘百三十二,秒百三。
辰法七百六十。
刻法三百四。
各因中節命之,得初候。加天中之策,得次候。又加,得末候。因中氣命之,得公卦用事。以地中之策累加之,得次卦,若以貞悔之策加侯卦,得十有二節之初外卦用事。因四立命之,得春木、夏火、秋金、冬水用事。以貞悔之策減季月中氣,得土王用事。凡相加減而秒母不齊,當令母互乘子,乃加減之;母相乘為法。
各以能法約其月閏衰,為日,得中氣去經朔日算。求卦、候者,各以天、地之策,累加減之。凡發斂加時,各置其小餘,以六爻乘之,如辰法而一,為半辰之數。不盡者,三約為分。分滿刻法為刻。若令滿象積為刻者,即置不盡之數,十之,十九而一,為分。命辰起子半算外。
步日躔術
三曰步日躔術
幹實百一十一萬三百七十九太。
周天度三百六十五,虛分七百七十九太。
歲差三十六太。
以盈縮分盈減、縮加三元之策,為定氣所有日及餘。乃十二乘日,又三其小餘,辰法約而一,從之,為定氣辰數。不盡,十之,又約為分。以所入氣並後氣盈縮分,倍六爻乘之,綜兩氣辰數除之,為末率。又列二氣盈縮分,皆倍六爻乘之,各如辰數而一;以少減多,餘為氣差。至後以差加末率,分後以差減末率,為初率。倍氣差,亦倍六爻乘之,復綜兩氣辰數除,為日差。半之,以加減初末,各為定率。以日差至後以減、分後以加氣初定率,為每日盈縮分。乃馴積之,隨所入氣日加、減氣下先、後數,各其日定數。其求朓朒仿此。冬至後為陽復,在盈加之,在縮減之;夏至後為陰復,在縮加之,在盈減之。距四正前一氣,在陰陽變革之際,不可相並,皆因前末為初率。以氣差至前加之,分前減之,為末率。餘依前術,各得所求。其分不滿全數,母又每氣不同,當退法除之。以百為母,半已上,收成一。冬至、夏至偕得天地之中,無有盈、縮。餘各以氣下先後數先減、後加常氣小余,滿若不足,進退其日,得定大小餘。凡推日月度及軌漏、交蝕,依定氣;注曆,依常氣。以減經朔、弦、望,各其所入日算。若大餘不足減,加爻數,乃減之。減所入定氣日算一,各以日差乘而半之;前少以加、前多以減氣初定率,以乘其所入定氣日算及餘秒。凡除者,先以母通全,內子,乃相乘;母相乘除之。所得以損益朓朒積,各其入朓朒定數。若非朔、望有交者,以十二乘所入日算;三其小餘,辰法除而從之;以乘損益率,如定氣辰數而一。所得以損益朓朒積,各為定數。
南斗二十六,牛八,婺女十二,虛十,虛分七百七十九太。危十七,營室十六,東壁九,奎十六,婁十二,胃十四,昴十一,畢十七,觜觿一,參十,東井三十三,輿鬼三,柳十五,七星七,張十八,翼十八,軫十七,角十二,亢九,氐十五,房五,心五,尾十八,箕十一,為赤道度。其畢、觜觿、參、輿鬼四宿度數,與古不同,依天以儀測定,用為常數。紘帶天中,儀極攸憑,以格黃道。
推冬至歲差所在,每距冬至前後各五度為限,初數十二,每限減一,盡九限,數終於四。當二立之際,一度少強,依平。乃距春分前、秋分後,初限起四,每限增一,盡九限,終於十二,而黃道交復。計春分後、秋分前,亦五度為限。初數十二,盡九限,數終於四。當二立之際,一度少強,依平。乃距夏至前後,初限起四,盡九限,終於十二。皆累裁之,以數乘限度,百二十而一,得度;不滿者,十二除,為分。若以十除,則大分,十二為母,命太、半、少及強、弱。命曰黃、赤道差數。二至前、後各九限,以差減赤道度,二分前、後各九限,以差加赤道度,各為黃道度。
開元十二年,南斗二十三半,牛七半,婺女十一少,虛十,六虛之差十九太。危十七太,營室十七少,東壁九太,奎十七半,婁十二太,胃十四太,昴十一,畢十六少,觜觿一,參九少,東井三十,輿鬼二太,柳十四少,七星六太,張十八太,翼十九少,軫十八太,角十三,亢九半,氐十五太,房五,心四太,尾十七,箕十少,為黃道度,以步日行。日與五星出入,循此。求此宿度,皆有餘分,前後輩之成少、半、太,准為全度。若上考往古,下驗將來,當據歲差,每移一度,各依術算,使得當時度分,然後可以步三辰矣。
以乾實去中積分,不盡者,盈通法為度。命起赤道虛九,宿次去之,經虛去分,至不滿宿算外,得冬至加時日度。以三元之策累加之,得次氣加時日度。
以度餘減通法,餘以冬至日躔距度所入限數乘之,為距前分。置距度下黃、赤道差,以通法乘之,減去距前分,余滿百二十除,為定差。不滿者,以象統乘之,復除,為秒分。乃以定差減赤道宿度,得冬至加時黃道日度。
又置歲差,以限數乘之,滿百二十除,為秒分。不盡為小分。以加三元之策,因累裁之。命以黃道宿次,各得定氣加時日度。
置其氣定小餘,副之。以乘其日盈、縮分,滿通法而一,盈加、縮減其副。用減其日加時度餘,得其夜半日度。因累加一策,以其日盈、縮分盈加、縮減度餘,得每日夜半日度。
步月離術
四曰步月離術
轉終六百七十萬一千二百七十九。
轉終日二十七,餘千六百八十五,秒七十九。
轉法七十六。
轉秒法八十。
以秒法乘朔積分,盈轉終去之;餘復以秒法約,為入轉分;滿通法,為日。命日算外,得天正經朔加時所入。因加轉差日一、餘二千九百六十七、秒一,得次朔。以一象之策,循變相加,得弦、望。盈轉終日及餘秒者,去之。各以經朔、弦、望小餘減之,得其日夜半所入。
各置朔、弦、望所入轉日損益率,並後率而半之,為通率。又二率相減,為率差。前多者,以入餘減通法,餘乘率差,盈通法得一,並率差而半之;前少者,半入餘,乘率差,亦以通法除之:為加時轉率。乃半之,以損益加時所入,余為轉餘。其轉余,應益者,減法;應損者,因餘。皆以乘率差,盈通法得一,加於通率,轉率乘之,通法約之,以朓減、朒加轉率,為定率。乃以定率損益朓肉積,為定數。其後無同率者,亦因前率。應益者,以通率為初數,半率差而減之;應損者,即為通率。其損益入餘進退日,分為二日,隨余初末,如法求之,所得並以損益轉率。此術本出《皇極曆》,以究算術之微變。若非朔、望有交者,直以入餘乘損益率,如通法而一,以損益朓朒,為定數。
七日、初數二千七百一,末數三百三十九。十四日、初數二千三百六十三,末數六百七十七。二十一日、初數二千二十四,末數千一十六。二十八日,初數千六百八十六,末數千三百五十四。以四象約轉終,均得六日二千七百一分。就全數約為九分日之八。各以減法,餘為末數。乃四象馴變相加,各其所當之日初、末數也。視入轉余,如初數已下者,加減損益,因循前率;如初數以上,則反其衰,歸於後率雲。
各置朔、弦、望大小餘,以入氣、入轉朓朒定數,朓減、朒加之,為定朔、弦、望大小餘。定朔日名與後朔同者,月大;不同者,小;無中氣者,為閏月。凡言夜半,皆起晨前子正之中。若注曆,觀弦、望定小餘,不盈晨初餘數者,退一日。其望有交、起虧在晨初已前者,亦如之。又月行九道遲疾,則有三大二小以日行盈、縮累增、損之,則容有四大三小,理數然也。若俯循常儀,當察加時早晚,隨其所近而進退之,使不過三大二小。其正月朔有交、加時正見者,消息前後一兩月,以定大小,令虧在晦、二。定朔、弦、望夜半日度,各隨所直日度及餘分命之。乃列定朔、弦、望小餘,副之。以乘其日盈、縮分,如通法而一,盈加、縮減其副。以加夜半日度,各得加時日度。
凡合朔所交,冬在陰曆、夏在陽曆,月行青道;冬至、夏至後,青道半交在春分之宿,當黃道東。立冬、立夏後,青道半交在立春之宿,當黃道東南。至所沖之宿,亦如之。冬在陽曆、夏在陰曆,月行白道;冬至、夏至後,白道半交在秋分之宿,當黃道西。立冬、立夏後,白道半交在立秋之宿,當黃道西北。至所沖之宿,亦如之。春在陽曆、秋在陰曆,月行硃道;春分、秋分後,硃道半交在夏至之宿,當黃道南。立春、立秋後,硃道半交在立夏之宿,當黃道西南。至所沖之宿,亦如之。春在陰曆,秋在陽曆,月行黑道。春分、秋分後,黑道半交在冬至之宿,當黃道北,立春、立秋後,黑道半交在立冬之宿,當黃道東北。至所沖之宿,亦如之。四序離為八節,至陰陽之所交,皆與黃道相會,故月有九行。各視月交所入七十二候距交初中黃道日度,每五度為限,亦初數十二,每限減一,數終於四、乃一度強,依平。更從四起,每限增一,終於十二,而至半交,其去黃道六度。又自十二,每限減一,數終於四,亦一度強,依平。更從四起,每限增一,終於十二,復與日軌相會。各累計其數,以乘限度,二百四十而一,得度。不滿者,二十四除,為分,若以二十除之,則大分,以十二為母。為月行與黃道差數。距半交前後各九限,以差數為減;距正交前後各九限,以差數為加。此加減出入六度,單與黃道相較之數。若較之赤道,則隨氣遷變不常。計去冬至、夏至以來候數,乘黃道所差,十八而一,為月行與赤道差數。凡日以赤道內為陰,外為陽;月以黃道內為陰,外為陽。故月行宿度,入春分交後行陰曆、秋分交後行陽曆,皆為同名。若入春分交後行陽曆、秋分交後行陰曆,皆為異名。其在同名,以差數為加者加之,減者減之;若在異名,以差數為加者減之,減者加之。皆以增損黃道度,為九道定度。
各以中氣去經朔日算,加其入交泛,乃以減交終,得平交入中氣日算。滿三元之策去之,餘得入後節日算。因求次交者,以交終加之,滿三元之策去之,得後平交入氣日算。
各以氣初先後數先加、後減之,得平交入定氣日算。倍六爻乘之,三其小餘,辰法除而從之,以乘其氣損益率,如定氣辰數而一,所得以損益其氣朓朒積,為定數。
又置平交所入定氣餘,加其日夜半入轉餘,以乘其日損益率,滿通法而一,以損益其日朓朒積,交率乘之,交數而一,為定數。乃以入氣入轉朓朒定數,朓減、朒加平交入氣余,滿若不足,進退日算,為正交入定氣日算。其入定氣餘,副之,乘其日盈縮分,滿通法而一,以盈加、縮減其副,以加其日夜半日度,得正交加時黃道日度。以正交加時度餘減通法,餘以正交之宿距度所入限數乘之,為距前分。置距度下月道與黃道差,以通法乘之,減去距前分,余滿二百四十除,為定差;不滿者一退為秒。以定差及秒加黃道度、余,仍計去冬至、夏至已來候數乘定差,十八而一,所得依名同異而加減之,滿若不足,進退其度,得正交加時月離九道宿度。
各置定朔、弦、望加時日度,從九道循次相加。凡合朔加時,月行潛在日下,與太陽同度,是謂離象。先置朔、弦、望加時黃道日度,以正交加時所在黃道宿度減之,餘以加其正交九道宿度,命起正交宿度算外,即朔、弦、望加時所當九道宿度也。其合朔加時,若非正交,則日在黃道,月在九道,各入宿度雖多少不同,考其去極,若應繩准。故云:月行潛在日下,與太陽同度。以一象之度九十一、餘九百五十四、秒二十二半為上弦,兌象。倍之,而與日沖,得望,坎象。參之,得下弦,震象。各以加其所當九道宿度,秒盈象統從余,余滿通法從度,得其日加時月度。綜五位成數四十,以約度餘,為分;不盡者,因為小分。
視經朔夜半入轉,若定朔大餘有進退者,亦加、減轉日。否則因經朔為定。累加一日,得次日,各以夜半入轉餘乘列衰,如通法而一,所得以進加、退減其日轉分,為月轉定分。滿轉法,為度。
視定朔、弦、望夜半入轉,各半列衰以減轉分。退者,定餘乘衰,以通法除,並衰