History of Song 宋史
卷六十九 志第二十二 律曆二 Volume 69 Treatises 22: Measures and Calendar 2
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律曆二○應天 乾元 儀天曆
步月離入先後曆〈(《乾元》謂之月離。《儀天》謂之步月離。)〉
離總:五萬五千一百二十、秒一千二百四十二。 〈(《乾元》轉分一萬六千二百、秒一千二百四。《儀天》曆終分二十七萬八千三百一、秒一百六十五。)〉
轉日:二十七、五千五百四十六、秒六千二百一十。 〈(《乾元》轉曆二十七、一千六百三十、秒六千二十。《儀天》曆週二十七、五千六百一、秒一百六十五。)〉
曆中日:一十三、七千七百七十四、秒三千一百五。 〈(《乾元》不立此法。《儀天》曆中十三日、七千八百五十、秒五千八十二半。《儀天》有象限六日、八千九百七十五、秒二千五百四十一少。)〉
朔差日:一、九千七百六十二、秒三千七百九十。 〈(《乾元》轉差一、三千八百六十九、秒三千九百八十。《儀天》會差日一、九千八百五十七、秒九千八百三十五。)〉
〈(《儀天》又有象差日空、四千九百八十、秒四千九百五十八太;望一百八十二度六千三百四十四、秒四千九百五十。)〉
度母:一萬一百。
秒法:一萬。 〈(二曆同)〉
求天正十一月朔入先後曆:〈(《乾元》謂之求月離入曆,求弦、望入曆。《儀天》謂之推天正經朔入曆。)〉以通餘減元積,餘以離總去之為總數;不盡者,半而進位,以元法收為日,不滿為分。如曆中日以下為入先曆;以上者去之,為入後曆。命日,算外,即得天正十一月朔入先後曆日分。累加七日、三千八百二十七分、秒六,盈曆中日及分秒去之,各得次朔、望入先後曆日分。 〈(《乾元》以朔餘減歲積分,以轉分去之,餘以五因之,滿元率收之為度;以弦策加之,即弦、望所入。以轉差加之,得後朔曆;累加之,即得弦、望入曆及分。《儀天》以閏餘減歲積分,餘以曆終分去之,不滿,以宗法除之為日;在象限以下為初限,以上去之,餘為末限,各為入遲疾曆初、末限。)〉
七日:初數八千八百八十八,〈(《乾元》初二千六百一十二。)〉末數一千一百一十四。 〈(末三百二十八。)〉
十四日:初數七千七百七十四,〈(《乾元》初二千二百八十五。)〉末數二千二百二十八。 〈(末六百五十五。《乾元》又有二十一日:初一千九百五十八,末九百八十二;二十八日:初一千六百三十二,末一千三百九。)〉
又《儀天》法月離先後度數:〈(《乾元》謂之月離陰陽差。《儀天》謂之求朔弦望昇平定數。)〉以月朔、弦、望入曆先後分通減元法,餘進位,下以其日損益率展之,以元法收為分,所得,損益次日下先後積為定數。其七日、十四日,如初數以下者,返減之,以上者去之,餘,返減末數,皆進位,下以損益率展之,各滿末數為分,損益次日下先後積為定數。 〈(《乾元》置入曆分,以其日損益率乘之,元率收為分,損益其下陰陽差為定數。四七術,如初數已下者,以初率乘之,如初數而一,以損益陰陽差為定數;若初數以上者,以初數減之,餘乘末率,末數除之,用減初率,餘加陰陽差,各為定數。)〉
朔弦望定日:以日躔、月離先後定數,先加後減朔、弦、望中日,為定日。 〈(二曆法同。)〉
推定朔弦望日辰七直:以天正所盈之日加定積,〈(視朔、弦、望中日,如入大、小雪氣,即加去年天正所盈之日分;若入冬至氣者,即加今年天正所盈之日分。)〉日滿七十六去之,不滿者,命從金星甲子,算外,即得定朔、弦、望日辰星直也。視朔幹名與後朔同者大,不同者小,其月無中氣者為閏。又視朔所入辰分皆與二分相減,餘二收,用減八分之六,其朔定小餘如此;以上者進一日;朔或有交正見者,其朔不進。定望小餘在日出分以下者,退一日,若有虧初在辰分以下亦如之。 〈(二曆法同。)〉
〈(《儀天》又有求朔弦望加時月度,置弦、望加時日度,其合朔加時月與太陽同度,其日、度便為月離所次;餘加弦、望象度及餘秒,滿黃道宿次去之,即定朔、弦、望加時日、度也。)〉
九道宿度:〈(《乾元》、《儀天》皆謂之月行九道。)〉凡合朔所交,冬在陰曆,夏在陽曆,月行青道;〈(冬至、夏至後,青道半交在春分之宿,出黃道東;立夏、立冬後,青道半交在立春之宿,出黃道東南:至所沖之宿亦如之。)〉冬在陽曆,夏在陰曆,月行白道;〈(冬至、夏至後,白道半交在秋分之宿,出黃道西;立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,出黃道西北:至所沖之宿亦如之。)〉春在陽曆,秋在陰曆,月行朱道;〈(春分、秋分後,朱道半交在夏至之宿,出黃道南;立春、立秋後,朱道半交在立夏之宿,出黃道西南:至所衝之宿亦如之。)〉春在陰曆,秋在陽曆,月行黑道。 〈(春分、秋分後,黑道半交在冬至之宿,出黃道北;立春、立秋後,黑道半交在立冬之宿,出黃道東北:至所沖之宿亦如之。)〉四序月離為八節,九道斜正不同,所入七十二候,皆與黃道相會。各距交初黃道宿度,每五度為限。初限十二,每限減半,終九限又減盡,距二立之宿減一度少強,卻從減盡起,每限減半,九限終十二而至半交,乃去黃道六度;又自十二,每限減半,終九限又減一度少強,更從減盡起,每限增半,九限終十二,復與日軌相會。交初、交中、半交,各以限數,遇半倍使,乘限度為泛差。其交中前後各九限,以距二至之宿前後候數乘之,半交前後各九限,各至二分之宿前後候數乘之,皆滿百而一為黃道差。在冬至之宿後,交初前後各九限為減,交中前後各九限為加;夏至之宿後,交初前後各九限為加,交中前後各九限為減。大凡月交後為出黃道外,交中後為入黃道內。半交前後各九限,在春分之宿後出黃道外,秋分之宿後入黃道內,皆以差為加;在春分之宿後入黃道內,秋分之宿後出黃道外,皆以差為減。倍泛差,退一位,〈(遇減,身外除三;遇加,身外除一。)〉又以黃道差減,為赤道差。交初、交中前後各九限,以差加;半交前後各九限,皆以差減。以黃赤道差減黃道宿度為九道宿度,有餘分就近收為太、半、少之數。 〈(《乾元》初數九,每限減一,終於一,限數並同,即八十四除之。《儀天》初數一百一十七,每限減一十,終於二十七,以一百一除。二曆皆不身外為法。初中正交、春秋二分、冬夏二至前後各九限,加減並同《應天》。又《儀天》即除法是九十乘黃道泛差,一百一收為度,乃得月與黃、赤道定差。以上入交定月出入各六度相較之差,黃道隨其日行所向,斜正各異,餘皆同《應天》。《儀天》有求定朔望加時入遲疾曆初末限,置經朔、望入遲疾初末限日及餘秒,如求定朔、弦、望法入之,即各得所求。又求初中正交入曆,置其朔、望加時入遲疾曆初末限日及餘秒,視其日月行入陰陽曆日及餘秒,如近前交者即加,近後交者即返減交中日餘,乃如之,各得初、中、正交入遲疾曆初末限日及餘秒也。其加減滿或不足,即進退象限及餘秒,各得所求。又求朔望加時及初、中、正交入遲疾限日入曆積度,各置小餘,以其日曆定分乘之,宗法收之為分,一百一除之為度,以加其日下曆積度,各得所求。又《乾元》、《儀天》有求正交黃道月度,《乾元》元率通定交度及分,以一百二十七乘之,滿九十五而一,進一等,復收為入交度,用減其朔加時日度,即朔前月離正交黃道宿度。《儀天》置朔、望及正交曆積度,以少減多,餘為月行去交度及分;乃視其朔望在交前者加、交後者減朔望加時黃道月度,為初、中、正交黃道月度也。)〉
九道交初月度:〈(《乾元》謂之月離入交九道正交月度、九道朔度。《儀天》謂之求月離正交九道宿度。)〉置月離交初黃道宿度,各以所入限數乘之,〈(遇半倍使)〉如百而一,為泛差;用求黃、赤二道差,依前法加減之,即月離交初九道宿度。 〈(《乾元》以日躔陰陽差陽加陰減,為朔、望常分;又以所入限率乘,正交黃道宿度相從之,以求黃、赤二道差,如前加減,為月離正交九道宿度;以入交定度加而命之,即朔月離宿度。《儀天》置正交月離黃道,以距度下月九道差,宗法乘之,以距度所入限數乘度,餘從之,為總差;半而退位,一百一收之,又計冬、夏二至以求度數乘,滿九十而一為度差,依前法加減,為正交月離九道。)〉
求九道朔月度:百約月離先後定數,後加先減四十二,用減中盈而從朔日,乃加交初九道宿次,即得所求。 〈(《乾元》置九道正交之度及分,以入交定度加之,命以九道宿次,即其朔加時月離宿度及分也。《儀天》法見下。 《乾元》又有定交度,置月離陰陽定數,以七十一乘之,滿九百一除之為分,用陰減陽加常分為度及分。)〉
求九道望月度:〈(《儀天》謂之求定朔、望加時日月度。)〉以象積加朔九道月度,命以其道,即得所求。 〈(《乾元》置朔、望加時日相距之度,以天中度及分加之,為加時象積;用加九道朔月度,命以其道宿次去之,即望日月度及分也。自望推朔亦如之。《儀天》求定朔望加時九道日度,以其朔、望去交度,交前者減之,交後者加之,滿九道宿度去之,即定朔、望加時九道日度也。求定朔望加時九道月度,置其日加時九道日度,其合朔者非正交,即日在黃道、月在九道各入宿度,多少不同,考其去極,若應繩準。故云月與太陽同度也。如求黃道月度法,盈九道宿次去之,各得其日加時九道宿度,自此以後,皆如求黃道月度法入之,依九道宿度行之,各得所求也。)〉
求晨昏月:〈(《乾元》謂之月離晨昏度。《儀天》謂之求晨昏月度。)〉置後曆七日下離分,與其日離分相比較,取多者乘朔、望定分,取少者乘晨昏分,皆滿元法為分,百除為度分,仍相減之,〈(朔、望度多者為後,少者為前。)〉各得晨昏前後度分;前加後減朔、望九道月度為晨昏月。 〈(《乾元》置其月離差,在三百九十三以上者,用乘朔、望定分,以下者,只用三百九十三乘,為加時分;元率除之,進一位,二百九十四收為度;又以離差乘晨昏分,亦如前收之為度,與加時度相減之,加時度多為後、少為前,即得晨昏前後度及分,加減如《應天》。《儀天》以晨昏分減定朔、弦、望小餘為後,不足者,返減之為前,以乘入曆定分,宗法除之,一百一約之為度,乃以前加後減加時月度為晨昏月度。)〉
晨昏象積:〈(《儀天》謂之求晨昏程積度。)〉置加時象積,以前象前後度前減後加,又以後象前後度前加後減,即得所求。 〈(《乾元》法同。《儀天》以所求朔、弦、望加時日度減後朔、弦、望加時日度,餘加弦、望度及餘,為加時程積;以所求前後分返其加減,又以後朔、弦、望前後度分依其加減,各為晨昏程積度及餘也。)〉
求每日晨昏月:〈(《儀天》謂之求每日入曆定度。)〉累計距後象離分,百除為度分,用減晨昏象積為加,不足,返減,以距後象日數除之,為日差;用加減每日離分,百除為度分,累加晨昏月,命以九道宿次,即得所求。 〈(《乾元》法同。《儀天》從所求日累計距後曆每日曆度及分,以減程積為進,不足,返減之,餘為退,以距後朔、弦、望日數均之,進加退減每日曆定度及分,各為每日曆定度及分也。)〉
步晷漏
求每日晷景去極度晨分:〈(《乾元》謂之晷景距中度晨分。《儀天》別立法,具後。)〉各以氣數相減為分,自雨水後法十六,霜降後法十五,除分為中率,二率相減,為合差;半之,加減中率為初、末率。 〈(前多者,加為初、減為末;前少者,減為初、加為末。)〉又以元法除合差,為日差;〈(後多者累益初率,後少者累減初率。)〉為每日損益率;以其數累積之,各得諸氣初數也。 〈(《乾元》法同。)〉
求昏分:以晨分減元法為昏分。 〈(《乾元》謂之元率,《儀天》謂之宗法。)〉
求每日距中度:〈(《乾元》同。《儀天》謂之求每日距子度。)〉以百乘晨分,如二千七百三十八為度,不盡,退除為距子度,用減半週天度,餘為距中星度分;倍距子度分,五等除,為每更度分。 〈(《乾元》百約晨分,進一位,以三千六百五十三乘,如元率收為度,餘同《應天》。《儀天》置晷漏母,五因,進一位,以一千三百八十二、小分五十五、微分三十五除為度,不盡,以一千三百六十八、小分八十六退除,皆為距子度,餘同《應天》。)〉
求每日昏明中星:〈(《乾元》謂之昏曉率星。)〉置其日赤道日躔宿次,以距南度分加而命之,即其日昏中星;以距子度分加之,為夜半中星;又加之,為曉中星。 〈(二曆法同。)〉
求五更中星:置昏中星為初更中星;以每更度分加之,得二更初中星;又加之,得三更初中星;累加之,各得五更初中星所臨。 〈(二曆法同。)〉
求日出入時刻:〈(《乾元》謂之求晝夜出入辰刻。《儀天》謂之求日出入晨刻及分。)〉以二百五十加晨減昏為出入分,以八百三十三半除為時,不滿,百除為刻分,命如前,即得所求。 〈(《乾元》以七十三半加晨減昏為出入分,各以辰法除之。為辰數;不盡,以五因之,滿刻法為刻,命辰數起子正,算外,即日出入辰刻也。《儀天》置其日晷漏母,以加昏明,餘以三因,滿辰法除為辰數,餘以刻法除為刻,不滿為分,辰數命子正,算外,即日出辰刻及分。乃置日出辰刻及分,以加晝刻及分,滿辰法及分除為辰數,不滿,為入時之刻及分。乃置其辰數,命子正,算外,即得日入辰刻及分。)〉
晝夜分:〈(《乾元》謂之晝夜刻。《儀天》謂之求每日夜半定漏、求每日晝夜刻。)〉倍日出分,為夜分;減元法,為晝分;百約,為盡夜分。 〈(《乾元》置日入分,以日出分減之為晝分,以減元率為夜分,以五因之,以刻法除為晝夜刻分。《儀天》先求夜半定漏,置其日晷漏母,以刻法除之為刻,不滿,三因為分,為夜半定漏及分。置夜半定漏刻及分,倍之,其分滿刻法為刻,不滿為分,即得夜刻及分。以夜刻減一百刻,餘者為晝刻及分,減晝五刻,加夜刻,為日出沒刻之數。)〉
更籌:〈(《乾元》謂之更點差分。)〉倍晨分,以五收,為更差;又五收,為籌差。 〈(《乾元》法同。《儀天》不立此法。)〉
步晷漏
冬至後初夏至後次象:八十八日、小餘八千八百九十九半,約餘八千八百一十一分。
夏至後初冬至後